這是我查到一些資料後的理解，希望能多一點對整數溢位後為何會正負循環的了解。

數字系統

首先要了解的是數字系統，因為一般電腦是採用二進制 (Binary) 來作數字計算，而不是我們習慣的十進制 (Decimal)。

我們一般人都是用十進制，十進制就是用 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十個數字來表達，一個位數就有十種狀態，從 0 開始往上累積，超過 9 就進一位。

而二進制是什麼呢？二進制就是用 0、1 兩個數字來表達，一個位數就只有兩種狀態表達，從 0 開始往上累積，超過 1 就進一位。

以十進制來說，13 這個數字其實應該寫成 1*10^1 + 3*10^0 這樣。10^0 是 1，也就是代表個位數，乘以幾就是這個位數累積到幾，超過 9 就進一位到 10^1 這一位，也就是十位數；再累積超過 9，就進位到 10^2 百位數，以此類推。

那二進制怎麼表達呢？例如有一個二進制的數字長這樣 1101，如同十進制，我們可以表達成 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0。這樣公式算完的答案其實就是十進制的 13，大家可以算一下試試看。其實其他如八進制、十六進制也是相同原理，只不過超過十進制的進制系統，因為阿拉伯數字無法在單一位數表達 10 以上的數字大小，所以會配合英文字母 A、B、C、D 等等。

另外複習一下國小（國中？）數學，小數點的部分，以我們常用的十進制來說，小數點後第一位是 10^-1、第二位是 10^-2，以此類推；相對的二進制也是一樣規則，小數點後第一位是 2^-1、第二位是 2^-2 這樣。

電腦基本運算方式

前面說到一般電腦是用二進制運算，這是什麼意思？

舉個例子，今天假設一台電腦，我們拉了第一條電線在裡面，一條電線怎麼表達不同的狀態呢？對，就是通電，有通電是一種狀態，沒通電是一種狀態。當然比較實際的作法是透過電壓，高電壓是一種狀態，低電壓是一種狀態，這樣來表達兩種狀態。

因此一條電線就能表達兩種狀態，剛好符合二進制只用 0、1 兩個數字來表達所有數字的狀態，而這樣能表達兩種狀態（1 或 0）的一條電線就是 1 bit。順便講一下因為某些原因，8 bits 被規定為 1 byte。bit 就是我們常聽到的位元，byte 就是我們更常聽到的位元組。

那 1 bit 可以表達兩種狀態，以二進制來說就是可以表達 0 跟 1；那 2 bits 呢？是四種；那 3 bits 呢？是六種？錯，是八種。

我們用列舉的方式說明，3 bits 意思是有三條電線各自有 0 跟 1 兩種狀態，因此我們可以列出有下列八種狀況：

簡略來說就是其實是有 2*2*2=8，也就是 2³ 種狀況；以此類推，n bit（n 條電線）就有 2ⁿ 種狀況。

那 1 byte 可以表達幾種狀況？

前面說過 1 byte = 8 bit，所以 1 byte 就可以表達 2⁸ = 256 種狀況。

前面也講過二進制怎麼換算十進制，也就代表了二進制的每一種狀況都對應到一個十進制的數字，至於對應到的是哪一個，就是用前面教過的換算方法換算。

因此，1 byte 可以表達 256 種狀況，每一種狀況剛好表達了一個二進制數字；再以二進制對應十進制來考慮，也就是 1 byte 可以表達從 0 開始，最多到 255 的各種十進制的正整數數字。

資料型態

到這邊可能就會有人問，那負數呢？

沒錯，講到這邊我們都只處理了正整數（包括 0），還沒講到負整數。講負整數之前，順便先講一下資料型態。

一般電腦要存這些數字，也是以這樣 1 個 byte、1 個 byte 的存，就想像記憶體或硬碟裡面就是一大堆小格子，每個小格子裡面通常就是 8 條線，也就是 8 bits，因此一個小格子就是 1 byte，也就是一個小格子就能存 256 種不同的狀態，以正整數來說，就是能存 0-255 這個範圍內的任何一個數字。

但 0-255 這樣的範圍很顯然太小了啊，儲存喝一杯可樂、吃一頓麥當勞的價格可能還可以，但要是我去麥當勞想點個六塊炸雞餐台幣 288 元怎麼辦？

對，就只好用兩個小格子 2 bytes 來存啊，兩個 256 加一起總可以了吧？

這句話只對了一半。

的確是要用 2 bytes 來存，但請記住 2 bytes 是有 2⁸*2⁸ = 2¹⁶ = 65,536 種狀況，而不是 256 + 256 = 512 種狀況唷！就跟 2 bits = 2*2 種狀況一樣，2 bytes 也是 2⁸*2⁸ 種狀況唷！至於有指數的數字相乘則指數相加這件事，請翻數學課本或上網谷哥。

接著，我們已經知道 2 bytes 有 65,536 種狀態，以正整數來說就是 2 bytes 就可以存 0-65535 這個範圍內任一整數，但某些狀況下，這個數字可能也不夠大怎麼辦？

就只好多用幾個 byte 啊，至於要用幾個 byte 才夠，大家的意見就不太一樣了。

舉例來說，在 Java 裡面，對於整數就有分成 byte、short、int、long 四種資料型態，名稱不重要，重要的是 Java 規定 byte 型態整數佔 1 byte、short 佔 2 bytes、int 佔 4 bytes、long 佔 8 bytes。

整數儲存方式

以 byte 這個整數型態來舉例，儲存 1 這個正整數就是先轉成二進制，也就是 0000 0001 來存進 byte 的 8 bytes 空間，大概可以表達成這樣：

| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |

八個位元，剛好一個位元存一個二進位數字。

接著就可以來考慮負整數該怎麼辦了。

一般來說，不論是 byte、short、int 還是 long，都是用最左邊的那一個位元來儲存正負號，0 是正號，1 是負號。所以如果是負整數 -1 就要表達成這樣：

| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |

1’s 補數

但是，這樣表達會有另外一個問題。

用最左邊的位元來儲存正負號，所以實際上八位元的空間只有七位元的空間能用來儲存數字，也就是只表示 2¹⁵ 種狀況，加上我們現在已經考慮到負整數，所以理論上範圍就會變成 -2¹⁵~2¹⁵ 這個範圍。

這邊就產生一個問題，照前面的邏輯，0 換成八位元的二進制應該表達為 0000 0000，但是在第一個位元用來表示正負號的情況下，那豈不是會出現 0000 0000 代表 +0 以及 1000 0000 代表 -0 這種好像會有兩種 0 的奇怪的狀況？？

有人想到解決的辦法，就是取補數。

補數是什麼呢？

我覺得比較簡單的講法就是兩個加起來會剛好開始進位的數字，互相之間就是補數，譬如在十進制中 1 跟 9 互為補數、23 跟 77 互為補數這樣。

但是電腦是二進制啊，二進制補數怎麼算？二進制補數最簡單了，就是把 0 跟 1 通通反過來就好，譬如 1001 翻成 0110 就變成補數啦，不信可以自己加加看是不是剛好會進位。

然後我們就可以利用補數來表達負整數的部分，所以像是 0110 換算成十進制是 6，而 -6 就利用補數法表達為 1001，剛好連最左邊正負號的欄位都同時翻轉成正確的正負號，是不是很方便呢？

所以取 1’s 補數後，以四位元來表達的整數組合就會變成如下：

這個方法就被稱作 1’s 補數法，但要注意，是對二進制取補數來表達十進制的負整數，而不是對十進制取補數。

2’s 補數

但是仔細想想，這樣還是沒有解決會同時有 +0 跟 -0，的問題啊，只是原本 -0 表達成 1000，現在 -0 變成用 1111 來表達而已啊？

所以為了徹底解決這個問題，於是就有了所謂的 2’s 補數法來彌補這個問題。

2’s 補數法就是針對 1’s 補數法會從 -0 開始排列而做的調整，原理就是利用 1’s 補數法將正整數的二進制取補數變成負整數的二進制後，對非代表正負號的二進制部分加 1 來代表原本 1’s 補數法代表的十進制數字。

一樣用十進制的 6 來當例子，十進制的 6 換成二進制變成 0110，而 -6 就是取 1’s 補數變成 1001，然後對 1001 非代表正負號的二進制部分加 1，也就是 001 + 1 = 010，再將原本代表正負號的第一位 1 加回去，所以 1010 才代表原本 1’s 補數所代表的 -6。

在這樣的方式下，-0 會自然地消失，只剩下 +0 代表 0，也因此負整數會多一個，在 4 bits 的情況下，2’s 補數法的負整數就會多出 -8。

如果我們看四個位元的整數組合，可以表列如下，讓大家直觀明白 2’s 補數法的對應關係。

所以 2’s 補數法其實只是針對 1’s 補數法的負整數部分調整其對應的十進制數字。

整數溢位 Integer Overflow

終於要講到溢位了，yeah~

所謂整數溢位就是超過整數資料型態能儲存的範圍，例如剛才提的例子是用 4 bits 來儲存整數，所以有 2⁴ 也就是 16 種狀況，對應到利用 2’s 補數法調整過的十進制整數範圍就是 -2³2³-1，也就是 -8+7。

那如果我利用這樣 4 bits 的整數變數儲存正整數 7，但是變數在參與運算的時候不小心又加了一怎麼辦？這就會超出這個整數變數能儲存的範圍，那實際這個變數裡面的整數會怎麼樣？會變成 -8。

為什麼？我們來算算看。

+7 對應的二進制是 0111，不小心再加了一會變多少？用二進制運算就是 1000。然後讓我們看一下上面的表格，1000 對應的 2’s 補數法那格是多少？就是 -8。

反過來說，-8 對應的二進制是 1000，不小心又多減了一，1000 減一就變成 0111，那 0111 對應的十進制數字是多少？就是 +7。

其實整數溢位會正反循環的道理就在這邊，不知道這樣講我十年後看不看得懂……orz

Last modified on 2017-10-01